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展史上的里程碑。
伽罗瓦的思想十分独特，而且具有坚定的目的性。他对于那种烦琐累赘
的计算方法感到不可抑制的厌恶。因此，他的表述极其简明扼要。但是他所
写的一切，都因为具有数学家不倦钻研的思想而放出异彩。他的每一部著作，
仿佛都是一次新的大胆的跃进，先前已达到的又落在了后面．新的将被更新
的所取代。伽罗瓦对待读者的态度有时似乎很傲慢，他并不怎么关心读者的
兴趣，但实际上这是因他惊人的洞察力和敏锐的思维所致。
在钻研中，首先使伽罗瓦感兴趣的，并不是个别的数学习题，而是决定
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一连串想法的即指导思维运动的论证方法或“方式”。他把论证方法建立在
一个能够概括当时已经达到的成就并决定科学长期向前发展的深刻理论的基
础上。他的这种理论被后人称为“一个明确的概念结构之建立”。
很多从前彼此孤立地加以研究的各种理论，实际上是需要做精确计算和
实际应用的个别情况而已。所以数学家不必去进行计算。正如伽罗瓦所说的，
他们只要“预见到”如何计算就行了。伽罗瓦在圣佩拉吉监狱写成的研究报
告中，对这一点作了明白的说明：
“起初，数学具有这样一种性质：即代数方法的计算已不十分需要；非
常简单的定理未必值得翻译成分析的语言。只有在欧拉以后，由于这位伟大
的数学家为科学界发现了新的可能性，这种较为简短的语言才成为必不可少
的东西。从此，计算变得越来越需要，同时，随着它被应用于越来越高深的
科学部门而变得越来越繁难了。本世纪初，算法已经达到相当复杂的程度，
以致数学家们如果不使自己的学术著作具备严整性，能够迅速地、一目了然
地掌握大量的运算数目，则任何进步都是不可能的。
“总之。我认为，依靠改进计算而获得的原则上的简化绝不是无穷无尽
的。终有一天，数学家必将能够清楚地以规范数变换作出预见，以致不必再
花时间和纸张来认真进行计算。我并非断言，除了这种预见外，分析不能有
其他的新成就；但我认为，如果没有这种辅助工具，有朝一日，全部分析方
法都将成为徒劳无益的东西。
“使计算听命于自己的意志，把数学运算归类，学会按照难易程度，而
不是按照它们的外部特征加以分类——这就是我所理解的未来数学家的任
务，这就是我所要走的道路。“不要把我流露出来的急躁情绪与某些数学家
向来对无论哪一种计算都要根本回避的意图混为一谈。他们不用代数公式，
而使用冗长的议论，在重迭的数学变换之上，又加上对这些变换的重迭的文
字概述，所使用的又是不适于解答这些算题的语言。这些数学家落后了 100
年。
“在这里没有这类的情况。我在这里进行分析之分析。总有一天，在这
个初具轮廓的高等分析中所提到的变换，将真正地得到实现，并且是按照难
易的程度，而不是按照这里出现的函数形式予以分类。”
可以体会到，这份报告的字里行间都贯穿着伽罗瓦那热烈的信念。这种
信念来源于他对科学客观、公正的态度。他曾经指出：
“没有跟科学打过交道的人，必定会感到一切都很奇怪，因为他们通常
把 ‘数学’一词看作是‘精确’一词的同义语。
“但如果他们考虑到，科学不过是人类智慧的一种产物，它注定了去研
究和探索真理，而不是发现和认识真理，那他们就不至于大惊小怪了。事实
上，如果有足够深邃的智慧，能够立即掌握到不仅是我们已知的东西，而且
是各种各样一般的数学真理的全部总和，那么就有可能借助某些普遍原理中
的同样方法，合乎逻辑地、又似乎机械地引申出这些真理；这样，科学家的
任务就更加艰巨了。科学的发展是比较不平衡的，因为它要通过一系列的配
合才能得到发展，而在配合之中，偶然性所起的作用远非微不足道的；科学
的生命是混沌一团的，它好比由于矿层的毗连而相互交错的矿物。这种情况
不仅适用于由众多科学家的工作成果所构成的整个科学界，而且也适用于其
中每一个科学家的单独研究工作。分析家们用不着欺骗自己，因为他们并不
是在演绎真理，而是在进行组合；他们领会真理是徘徊于左右之间的。”
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虽然伽罗瓦的科学活动惊人的短促，但他的研究成果是辉煌的。他的著
作，标志着数学前史的结束和数学史的开始。
在伽罗瓦的著作中，所说的“把数学运算归类”指的就是群论，即从19
世纪末叶开始，对数学分析、几何学、力学、物理学的发展有着巨大影响的
群论。创立这个理论的荣誉属于伽罗瓦，因为他是第一个估计到这个理论对
科学发展的意义的先驱。
伽罗瓦所研究的求解代数方程的问题，长期以来吸引着数学家们的注
意。解方程，意即求出它的根值。在求一次和一次方程的根时很容易，但在
三次方程中，就不太容易了。而伽罗瓦研究的是任意次方程，即方程的一般
情况。
从实践观点来看，无论形式多么复杂的任何具体方程的解并没有任何意
义。早在16世纪，数学家就已经发现，使用能确定方程根的近似值的方法较
为便当。这些近似值充分满足了物理学家、化学家和工程师的需要。但对于
使用字母作系数的一般方程来说，近似法是求不出它的根值的。伽罗瓦的第
一个发明就在于他把这些根值的不定式的次数减低下来，确定这些根的某些
特征。伽罗瓦的第二个发明就是他所使用的求得结果的方法，即他并不研究
方程本身，而研究它的“群”，也就是研究它的“家族”。
“群”的概念是在伽罗瓦著作提出之前不久才出现的。但当时，它只不
过像是一个没有灵魂的躯体，是偶尔出现在数学上的、人为臆断的大量概念
之一。伽罗瓦的贡献不仅在于他使这个理论具有生命，还在于他以独创精神
赋予这个理论以必要的完整性；伽罗瓦指出，这一理论富有成效，并且把它
运用到解代数方程的具体习题上。所以，埃瓦里斯特·伽罗瓦是群论的真正
创始人。
在数学科学中，“群”被看作是具有某种共同特性的对象总和，譬如奇
数群 （不能被2整除的数的集合），它的特性在于如果令群中的任意两个数
相乘，则其积仍为奇数，如3乘3等于9，当实例从简单到复杂时，则可以
选择关于某些对象的运算自身作为“对象”。在这种情况下，群的主要特征
表现为任意两种运算的结合也是一种运算。伽罗瓦在分析求解的方程时，就
是把某种运算群与这个方程联系起来，并证明方程的特性反映在该群的特点
上。由于不同的方程可以“‘有”同一个群，所以无须研究所有的方程，只
须研究与之相适应的群就可以了。这一发现标志着数学发展的现阶段的开
始。
不论群是由什么“对象”——数、位移或运算——组成，这些对象都可
被视为是不具有任何特征的抽象的东西。而要测定群，只须说明为了使某“对
象”的总和可以称为群而应遵循的共同规则就可以了。这些规则就是群的公
理，群论是依据这些公理运用逻辑总结出来的结果。这一理论在证实不断被
发现的新的特性过程中得到了发展。群论为研究工作提供了新的数学工具。
人类认识的发展过程是不平衡的，有时候某一方面的进展会暂时中断。
科学也会在某个时期处于停滞之中，昏昏欲睡。科学家们从事琐碎的事情，
把贫乏的思想隐藏在华丽的计算后面。19世纪初期的数学发展状况就处在停
滞阶段。因为在当时，代数变换已演进得很复杂了，以致向前发展实际上成
为不可能的事情了。数学家们不再能够“预见”了。因此，寻找新道路以推
动科学发展就成了时代的需要。对此，伽罗瓦曾说：“在数学中，正如在任
何其他科学中一样，有一些需要在这一时代求得解决的问题。这是一些吸引
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先进思想家思想而不以他们个人的意志和意识为转移的迫切问题。”
伽罗瓦以他的著作，开始了数学科学新的繁荣时期。群的概念的建立，
使数学们家摆脱了研究大量的、各式各样的理论的繁重负担。伽罗瓦曾指出：
“我在这里进行分析之分析”，这种想法表明了他竭力想使这些新的、像辞
汇表那样具有实用意义的方法得到运用。所以说群论首先是数学语言的整
理。
有些人谴责伽罗瓦参与政治活动，说他过分年轻，行为过激而招致杀身
之祸。他们认为科学家的工作是超时间和超空间的，科学家应该在某种抽象
的世界中生活，进行创造。这种观念使他们不能认清伽罗瓦在科学上所作的
贡献的价值。与这种偏见不同，伽罗瓦反对科学家的天生孤独性。他相信：
“科学家生来并不比其他人更要过孤独的生活；他们也是属于特定时代的
人，而且迟早要协同合作。到了那时候，将有多少时间腾出来用于科学呀！”
正因为伽罗瓦把科学理想与社会理想结合起来，并为实现它们而奋斗，
所以他成了一位杰出的数学家和勇敢的革命者。可以说，伽罗瓦短暂的一生
是伟大的。
三、伽罗瓦与群论
群论这门数学在当代已经成为数学中的重要部分了，而其理论的应用、
发展应该首先归功于埃瓦里斯特·伽罗瓦。因为是伽罗瓦赋予群论以实在的
内容，建立起群论学并加以完善，从而改变了19世纪初叶，数学科学发展的
停滞状况，开创了新的繁荣时期。所以说，伽罗瓦对科学的重大贡献就在于
他对群论的贡献。因此，要了解伽罗瓦，就必须了解群论。
1．群的重要
解方程式是数学中一件重要的事情。代数方程式可以依他的次数来分
类。
一次方程式ax＋b＝0的解答很容易得出，是
x＝…b／a
二次方程式
2
ax＋bx＋c＝0的解是
x＝（… b± b2 …4ac ）／2a
但是，三次方程式
3 2
ax＋bx＋cx＋d＝0
和四次方程式
4 3 2
ax＋ bx＋cx＋ dx＋e＝ 0
的解法就比解一次、二次方程式难得多了，直到16世纪才有了解法。
当方程式的次数增大时，解法的困难增加得很快。一般数学家虽都不会
解高于四次的方程式，却都相信一定是能办到的。直到19世纪�