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者对平均收益率有更大的影响。
与内部收益率并列的是时间加权收益率（time…weighted return）。这种方法忽略了
不同时期所持股数的不同。由前可得第一年股票的收益率为1 0％；而第二年股票的初
始价值为5 3美元，年末价值为5 4美元。本期收益率为3美元（ 2美元的红利加上1美元的
资本利得）除以5 3美元（第二年初股价），即5 。 6 6％；所以其时间权重的收益率为1 0％和
5 。 6 6％的平均值，即7 。 8 3％。显然这个平均收益率只考虑了每一期的收益，而忽略了每
一期股票投资额之间的不同。
注意，这里资金权重收益率比时间权重收益率要小一些。原因是第二年股票的收
益率相对要小，而投资者恰好持有较多的股票，因此第二年的资金权重较大，导致其
测算出来的投资业绩要低于时间权重收益率。一般来说，资金权重和时间权重的收益
率是不同的，孰高孰低亦是不确定的，这取决于收益的时间结构和资产组合的成分。
哪种测算方法更好一些呢？首先，资金权重收益率应该更准确些，因为毕竟当一
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第24章资产组合业绩评估
623
支股票表现不错时投入越多，你收回的钱也就越多。因此，你的业绩评估指标应该反
映这个事实。
但是，时间权重的收益率有它自己的用处，尤其是在资金管理行业。在很多重要
的实际操作过程中，资产组合的管理者并不能直接控制证券投资的时机和额度。养老
基金的管理者就是一个很好的例子：他所面对的现金流入是每笔养老金的注入，而现
金流出则是养老金的支付。很显然，任何时刻的投资额度都会因为管理者无法控制的
各种原因而各不相同。由于投资额并不依赖管理者的决定，因此在测算其投资能力时
采用资金加权的收益率是不恰当的。于是，资金管理机构一般用时间加权的收益率来
评估其业绩。
概念检验
问题1：设X Y Z公司在每年的1 2月3 1日支付2美元的红利，某投资者在1月1日以每
股2 0美元的价格购入2股股票。一年后，即次年的1月1日他以2 2美元/股出售了其中一
股；又过了一年，他以1 9美元/股出售了另一股。分别计算这两年投资的资金权重收益
率及时间权重收益率。
24。1。2 算术平均与几何平均
在上文例子中我们对1 0％和5 。 6 6％两个年收益率取了算术平均数，即时间权重收益
率为7 。 8 3％；还有一种方法是取几何平均，用rG表示。
这种计算方法来源于复利计算规则。如果红利收入可以再投资，则该股票投资的
累计价值在第一年将以1 。 1的增长率上升；第二年以1。056 6的增长率上升，其复合平
均增长率rG用下面的公式计算：
（ 1＋rG）2＝1 。 1×1。056 6
利用此式计算出：
1＋rG ＝（ 1 。 1×1。056 6）1 / 2＝ 1。078 1
即rG ＝7 。 8 1％
一般情况下，对于一个几期投资来说，其几何平均收益率是这样给出的：
1＋rG ＝＇ （ 1＋r1） （ 1＋r2）。（ 1＋rt）。（ 1＋rn） ＇1 /n
其中rt是每期的收益率。
在这个例子中，几何平均收益率为7 。 8 1％，比算术平均收益率7 。 8 3％略小一些。这
是一个一般的结论：几何平均收益率绝不会超过算术平均收益率。为使这个结果变得
更直观，考虑某一股票，第一期它的价值翻了一倍（r1 ＝1 0 0％），第二期其价值减半（r2
＝…5 0％），那么算术平均收益率是rA ＝＇ 1 0 0＋（…5 0 ） ＇ / 2＝2 5％，然而它的几何平均收益
率却为rG ＝＇ （ 1＋1 ） （ 1…0 。 5 ） ＇1 / 2…1＝0。在计算几何平均收益率时，第二期…5 0％的收益完
全抵销了第一期1 0 0％的收益，使得平均收益为0；而在算术平均收益率中则并非如此。
一般来说，在几何平均收益率的算法中，较低的收益率具有更大的影响。因此，几何
平均收益率要比算术平均收益率低一些。
更进一步说，每期的收益率差距越大，两种平均方法的差别也就越大。一般的规
则是，当收益率以小数（而不是百分比）表示时，有下面的公式成立：
rG 。 rA …1 2 2 （ 2 4 … 1 ）
其中
2是收益率的方差。当收益率为正态分布时，公式（ 2 4 … 1 ）是精确的。
例如，表2 4 … 1列示了在1 9 2 6 ~ 1 9 9 6年各种不同投资项目的算术平均收益率和几何
平均收益率。所有的算术平均收益率都比几何平均收益率大，其差距最大的是小公司
的股票，同时它也是年收益率标准差最大的。只有当各年年收益率完全相等时，两种
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624 第七部分资产组合管理的应用
平均收益率之间的差别才会降至0。从表中可以看出，当收益率的标准差降到了国库
券的水平，两种平均收益率的差别就很小了。
表24…1 1926~1996年投资的平均年收益率
名称算术平均几何平均差距标准差
小公司的普通股① 1 9 。 0 1 2 。 6 6 。 4 4 0 。 4
大公司的普通股1 2 。 5 1 0 。 5 2 。 0 2 0 。 4
长期国债5 。 3 5 。 0 0 。 3 8 。 0
美国国库券3 。 8 3 。 7 0 。 1 3 。 3
① 这些公司的股票市值相对较低，计算市值的方法为每股股价乘以现有股票数量。
资料来源：作者在表5 … 2的资料基础上计算出来的。
为了说明公式（ 2 4 … 1 ），我们可以考虑大公司股票的平均收益。根据公式，
0 。 1 0 5≈0 。 1 2 5…（ 1 / 2 ） （ 0 。 2 0 4 ）2＝0。1042
0 。 1 0 5≈0 。 1 0 4 2
正如我们预测的那样，算术平均收益率（ 0 。 1 2 5 ）超出几何平均收益率（ 0 。 1 0 5 ）的部分
大约是两年中收益率方差的一半。显然，我们在比较收益率时决不应把这两种平均方
法混淆＇ 1 ＇。
还有最后一个问题：在算术平均和几何平均中，哪一种方法能更好地测算投资业
绩？也许几何平均会更好一些，因为它意味着我们必须保持一个稳定的收益率，以配
合过去几年投资的实际业绩。它是一个测算过去业绩的好方法。然而，如果你更注重
未来的业绩，那么你就得用算术平均来统计了，因为它是资产组合期望收益的无偏估
计（假定期望收益不随时间变动）。相反，因为长样本期的几何平均收益率往往小于算
术平均收益率，它就成为了股票预期收益的保守估计。
为了说明这个问题，仍然考虑上文提过的那只股票，它的价值可能以0 。 5的概率翻
倍（r＝1 0 0％），或者以0 。 5的概率减半（r＝…5 0％）。下表说明了可能的结果：
投资结果每投资1美元所获得的最终价值/美元一年收益率（％）
翻倍2 。 0 0 1 0 0
减半0 。 5 0 …5 0
假设两年中股票保持了这样的概率特性。其中一年加倍，另一年减半，最终股票
价值仍会和最初时点一样，因此年收益的几何平均值为0。显然，如果每年收益率保
持为0，那么结果与其完全一致。
但股票的期望年收益率并不是0，而是1 0 0％和…5 0％的算术平均值：（ 1 0 0…5 0 ） / 2＝
2 5％。每投资1美元就有两种等可能的结果：或收益美元1 （当r＝1 0 0％时），或损失美元
0 。 5 0 （当r＝…5 0％时），期待其期望利润是（ 1美元…0 。 5 0美元） / 2＝0 。 2 5美元，即2 5％的期望
收益率。尽管几何平均收益率为0，但好年景的利润却足以抵销坏年景的损失。这就
说明了算术平均收益率是计算期望收益率的正确方法。
进一步讨论多时期投资，例如考虑两年中所有可能的情况：
投资结果每投资1美元所获得的最终价值/美元两年总收益率（％）
翻倍，翻倍4 。 0 0 3 0 0
翻倍，减半1 。 0 0
0
减半，翻倍1 。 0 0
0
减半，减半0 。 2 5 …7 5
＇1＇ 在小公司股票的情况下，（ 1 / 2 ） （ 0 。 4 0 4 ）2＝0 。 0 8 2，rA …rG ＝0 。 0 6 4，因为小公司股票收益率的最终价值比根
据正态分布预计的价值要更可能实现。
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第24章资产组合业绩评估
625
两年后每1美元的期望终值为（ 4＋1＋1＋0。25） 美元/ 4＝1 。 5 6 2 5美元，这同样也能
表明其平均年收益率为算术平均收益率的2 5％。注意到若某项投资具有固定的年收益
率2 5％，且期望终值以复利计算，那么其终值应为（ 1 。 2 5 ）2＝1。562 5。而例中股票两年
中收益率的算术平均值为＇ 3 0 0＋0＋0＋（…7 5 ） ＇ / 4＝5 6 。 2 5％。因此，有效年收益率即为
（1。562 5）1 / 2…1＝2 5％。相反的，年收益率的几何平均值却为零：
＇ （ 1＋3 ） （ 1＋0 ） （ 1＋0 ） （ 1…0 。 7 5 ） ＇1 / 4＝1 。 0
我们又一次说明了算术平均收益率是预期未来业绩的正确方法。
概念检验
问题2：假定某一股票现价1 0 0美元/股，一年后可能上涨1 5％，上涨的概率为0 。 5，
或者下跌5％，其概率也是0 。 5，并且不付红利。
a。 计算股票收益率的几何均值和算术均值。
b。 年末时每股股票期望收益是多少？
c。 哪种方法更适于测算期望收益率？
24。2 业绩评估的传统理论
仅仅计算出资产组合的平均收益是不够的，我们还必须根据风险来调整收益。只有
这样，收益之间的比较才有意义。在根据资产组合的风险来调整收益的各种方法中，最
简单、最普遍的方法是与其他有类似风险的投资基金进行收益率的相互比较。例如，高
收益债券组合被归为一类，增长型股票资产亦被归为一类，等等。然后我们可以在每类
中确定每个基金的平均收益（ 一般是时间权重平均收益），并根据各基金对比情况
（comparison universe）给出一个在其所在类别中百分比的排序。例如，在由1 0 0个基金组成
的大类里，第9名的管理者排序为9 0％，它表示在本评估期内其业绩比9 0％的竞争者要好。
这些排名通常制成表公布（如图2 4 … 1 ）。该表总结了1季度、1年、3年、5年这4个评
估期间的业绩排名。图中的上下线分别是位于5％和9 5％管理者的收益率。中间的三条
线分别是位于第7 5％、5 0％（中位数）和2 5％的管理者。菱形代表某一特定基金的平均收
益率，方块则代表市场基准指数的收益率，如标准普尔5 0 0。从菱形在格子中的位置
就很容易看出该基金在可比情况下的经营业绩。
收益率（％）
马克威尔集团
标准普尔500
1季度1年3年5年
图24…1 情况对比（截至1 9 9 8年1 2月3 1日）
626 第七部分资产组合管理的应用
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在业绩评估中，与其他同种投资形式基金的业绩比较是第一步。然而，这些排名
并不十分可靠。例如，在某个特定的环境下，一些管理者可能更注重资产组合中的某
一部分资产，这样的资产组合特征就不再具有可比性。例如，在资本市场中某个管理
者更关注高
值的股票；类似地，在固定收益证券的情况下，久期却因管理者的不同
而各异。这些都表明寻求更精确的风险调整方式是相当有必要的。
两种考虑风险调整的业绩评估方法同时出现了，它们是均值…方差比值标准和资
本资产定价模型（ C A P M ）。杰克·特雷纳（Jack Tr e y n o r ）＇ 1 ＇、威廉·夏普（ Wi l l i a m
S h a r p e ）＇