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性关系。一个线性关系，即可以被一条直线所刻划，一般具有如下的形式：
Rj ； t =aj＋bjRM ； t＋ej ； t （ A … 2 1 ）
式中下标j表示任何资产，M表示市场指数（在下面的叙述中，我们将尽可能地省
略下标）。在式（ A … 2 1 ）的左边，资产j的超额收益是被解释变量；右边分为两部分，即
被解释变量中的可被解释部分与随机部分。
Rj可被解释部分为a＋b RM。它被绘于图A … 7。数值a，有时也被称为截距，给出了
当解释变量为零时Rj的取值。在该关系中，我们假设其为常数。可被解释部分中的第
二项代表RM这种市场趋动力，当乘以敏感系数b后就把RM的运动传递给了Rj。同样，我
们也假设b为常数。图A … 7中b就是回归直线的斜率。
Rj 中不可被解释部分以扰动项ej表示。我们假定扰动项与解释变量RM无关，而且
具有零期望的特征。这样的变量也被称为“白噪声”变量，因为它仅仅能够加大被解
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附录A 定量计算的复习
765
释变量Rj的波动性，而对其期望却没有任何影响。
我们把数据代入式（ A … 2 1）所示的关系，然后对其系数进行估计，所得的方程即
为回归方程。仅含有一个解释变量的关系称为简单回归。参数a、b被称为回归系数。
因为每一个Rj的值都由回归方程所解释，Rj的期望值与方差也由该回归方程所决定。
利用式（ A … 2 1 ）中的期望表达式，我们有：
E（Rj）＝a＋b E（RM） （A…22）
常数a不会对Rj的方差产生影响。因为变量RM和ej不相关，所以两随机变量和b Rm＋e
的方差为两个随机变量各自方差的和。由于RM乘上了参数b，所以Rj的方差将为：
＋
e2（ A … 2 3 ）
2j=b2M2
式（A … 2 3）告诉我们，Rj波动性中RM部分取决于回归系数（即斜率）b。（b
M）2这
一项被称为可被解释方差，扰动项的方差构成了不可被解释方差。
Rj与RM之间的协方差也可由回归方程得到。利用前文的定义式，我们有，
C o v （Rj； RM）＝C o v （a＋b RM＋e； RM）
= C o v （b RM； RM）＝bC o v （RM； RM）＝b
2M（ A … 2 4 ）
截距a之所以没有出现在最后的表达式中，是因为在随机变量上加一个常数后，
它与其他随机变量的协方差将保持不变。另外，由于假设随机扰动项e与市场收益无
关，所以它也没有出现在最后的表达式中。
式（ A … 2 4 ）列出了回归参数b的另一个表达式：
Cov（ Rj ； RM ）
b =
2
M
于是，斜率b就成为了一个比例的测度，这个比例就是j与M的同步变动在解释变
量M这一趋动力的运动中所占的比例。
对回归方程解释能力到底如何的一种测度方法是看Rj的总方差中可被方程解释的
方差所占的比例。这个比值称为确定系数
2：
b22 b22
M
M
2jM= 2
j
=
bM
2M2＋ e2（ A … 2 5 ）
注意，确定系数与1 。 0之间的差由不可解释方差
e2组成。因此，表示确定系数的
另一种方法是：
2
2 e
jM 2
=1 …
j
运用代数知识，我们可
知确定系数即为相关系数的
平方。这也就是说，被解释
变量中由解释变量引起的方
差所占的比例即为相关系数
的平方（参见图A … 7）。
根据使观测值距回归估
计值偏差的平方和最小的原
则，我们能得到回归系数a、
b的估计值。你的计算器，或
者任何一个电子数据表程序，
都可以计算回归系数的估计图A…7 简单回归估计与残值，回归线上方差
值。和最小的截距与斜率
实际价值
（a＋bRM＋ej）
回归预计
（a＋bRM）
a=截距
b=斜率
残值=扰动的估计值
第八部分附录
766
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1 9 8 6年注册金融分析师（ C FA ）考试（水平I）的题目如下：
问题：
在对货币基金管理者进行业绩评估时，养老金计划的出资人一般很注重对各基金
进行排名的结果。事实上，各养老金的出资人都自然而然地认为，那些在同等的有代
表性的管理基金样本中，排在前1 / 4的经理在今后的业绩表现中将会优于那些排在后
1 / 4的管理基金。
通过对前一期基金业绩排名顺序进行本期的百分比排名回归，我们可以对这种评
判方法的正确性作出判断。
1。 假如出资人所认为的前提假定是正确的，即在各期内的百分比排名存在完全的
正相关，那么请给出回归直线的截距、斜率以及回归的R2值。
2。 假如基金的百分比排名在各期之间没有相互关系，那么请写出回归所得的截距、
斜率以及R2值。
3。 假定某一次回归分析所得的截距为0 。 5 1，斜率为－0 。 0 5，R2值为0 。 0 1。如果某基
金当期百分比率为0 。 1 5，那么根据这些回归数据，请给出该基金在下期内百分比排名
的最佳估计。
4。 某些养老金计划的出资人认为，在实际应用中他们应该放弃那些处于前1 / 4的
管理者，而转向那些处于后1 / 4的管理者。请说明在赞成这种实际方法的出资人的头脑
中，他们的前提假定是什么？或者说，在关于基金连续两期的百分比排名的关系中，
他们认为回归结果应该是什么样的？
答案：
1。 截距= 0，斜率= 1，R2= 1
2。 截距= 0 。 5，斜率= 0，R2= 0
3。 第5 0名，由下述计算得到：
y=a＋b x＝0 。 5 1－0 。 0 5 （ 0 。 1 5 ）＝0 。 5 1－0。007 5＝0。502 5
因为R2值太小，可能很难对基金排名作出精确的预测。
4。 这些赞成放弃好业绩基金、支持差业绩基金的出资人认为，连续两期内百分比
排名回归分析中的斜率及相关系数皆显著地为负。
A。3。4 多因素回归分析
一些基本理论告诉我们，在许多情况下一个被解释变量往往要由好多个独立的解
释变量来决定。对这个概念的明释只需以两变量的情形为例。一个房地产分析家对一
个分散性房地产资产组合的收益给出了一个回归方程：
R Et =a＋b1R Et…1＋b2N V Rt＋et （ A … 2 6 ）
式中被解释变量是t期的房地产资产组合R Et，模型说明该收益的被解释部分由两
个独立的部分组成。第一个是前期收益R Et…1，表示房地产发展势头的持续性。第二部
分为当期国家的空房率N V Rt。与简单的回归分析一样，a是截距，即为当解释变量为
零时R E的取值。回归系数（斜率）b1、b2代表各解释变量对R Et的边际影响。
确定系数的定义与前文一样。干扰项e的方差与资产组合总方差的比值即为1 。 0减
去该方程的确定系数。这里回归系数的估计原则也是使观测值相对于预测值偏差的平
方和达到最小。
A。4 假设检验
投资学理论的一个中心假设就是不能被分散掉的系统风险将由一个较高的预期收
益率来补偿。但是这个理论是否得到实证数据的支持呢？考虑表A … 3中股票的超额收
益。超额收益预期的估计（即样本均值）为8 。 5 7％。看上去这已是一个比较大的风险
补偿，但风险本身也是如此—样本标准差的估计为2 0 。 9％。这个正相关的关系是否
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附录A 定量计算的复习
767
只是一时的运气而已？假设检验正是要解决这个问题。
假设检验的第一步必须要确定被检验的命题。它被称为原假设，记为H0。相对于
原假设，我们有一个备择假设命题记为H1，假设检验的目标就是要通过计算判断出错
的概率而确定是否要拒绝原假设、接受备择假设。
当对一个变量赋予某值时，我们称其为“特定”假设。认为股票溢价为零就是
“特定”假设的一个例子，但通常情况下假设是“一般”意义上的。“股票风险溢价不
是零”这个命题是一个完全一般的假设，而且它就是风险溢价是零这个特定假设的备
择假设。它认为风险溢价可以是任何值，但是，不是零。如果备择假设认为风险溢价
为正，尽管它并不是完全一般的，但它们也不是特定的。虽然有时我们不得不对两个
非特定假设进行检验（比如说，原假设认为风险溢价为零或负，备择假设认为风险溢
价为正），但这种非特定假设确实使确定出错概率的工作复杂化了。
那么，到底什么是可能的错误呢？我们可以把它分为两类，记为第I类错误和第
Ⅱ类错误。第I类错误就是指当原假设为真时我们拒绝原假设的事件，第I类错误出
现的概率被称为显著性水平。第Ⅱ类错误是指当原假设为假时我们接受原假设的事
件。
假定我们为接受H0确定了一个很宽松的标准，于是我们几乎可以确信我们肯定会
接受原假设。要达到这样，我们会使显著性水平趋于零（零是有利的）。如果我们肯
定不会拒绝原假设，那么当原假设为真时我们也肯定不会拒绝它。同时第Ⅱ类错误发
生的概率就会接近于1（1是不利的）。如果我们肯定会接受原假设，那么当原假设为
假时我们也会无条件地接受它。
如果我们为接受H0确定了一个很严格的条件，此时情况就完全相反了：因为我们
现在知道我们几乎肯定会拒绝它。这会使第Ⅱ类错误的发生概率变为零（有利情况）：
因为从不接受原假设，所以当原假设为假时我们肯定会拒绝它。但现在显著水平却变
成了1（不利情况）。如果我们经常拒绝原假设，那么就算当原假设为真时，我们也会
拒绝它。
两种错误的互相妥协决定了假设检验必须要有合适的显著水平。首先，它必须先
限制第I类错误的发生概率，然后根据已有的条件，理想的检验应该使第Ⅱ类错误发生
的概率减至最小。如果我们要避免第Ⅱ类错误（即当原假设为假时接受了它），那么当
你假设确定为假时，我们就必须拒绝它。避免的概率就是1减去第Ⅱ类错误的发生概率，
我们称其为检验强度。使第Ⅱ类错误发生概率最小化意味着检验强度的最大化。
为对“股票能获得风险补偿”这一命题作出检验，我们写出假设为：
H0：E（R）=0 即预期超额收益为零
H1：E（R）》0 即预期超额收益为正
H1是一个非特定的备择假设。当原假设和其相对的、完全一般的备择假设进行检
验时，我们称其为双尾检验，因为这时你可能会因为过大或过小的数值而拒绝原假
设。
当两个假设都是非特定假设时，由于计算第I类错误的发生概率复杂化了，因此
检验也变难了。通常情况下，至少会有一个假设是简单的（即特定的），于是我们就
设其为原假设，这样我们计算检验显著水平时就相对简单了。而在非特定假设为真的
前提下，检验强度的计算仍然是很复杂的；一般情况下我们不能把它解出来。
我们接下来会说明，如果我们把希望拒绝的假设E（R）= 0设为原假设，那么要接
受我们所希望看到的备择假设就相对不易。
在对E（R）= 0这一假设进行检验时，我们设定显著性水平为5％，这就是说，当
原假设为真时，我们拒绝原假设（即认为存在一个正的风险溢价）的概率为5％或更小。
因此，我们必须找到一个记为z 的边界值（或称为双边检验的边界值），�